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corner Abschlussprüfung 2004 Mathematik II Gruppe A Aufgabe 1 corner
A 1.0

Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y = ax2 + 0,5x + c mit   , aÎIR\{0} und cÎIR. Die Parabel p verläuft durch die Punkte P(-1|-4) und Q(5|-7). Die Gerade g hat die Gleichung y = -0,5x + 3 mit .

 
A 1.1

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte a und c, dass die Parabel p die Gleichung
y = -0,25x2 + 0,5x -3,25 hat.
Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für xÎ[-3;5] in Schritten von Dx = 1 und zeichnen Sie die Parabel p und die Geraden g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;   -4 x 9 ;    -9 y 5

4 P

A 1.2

Punkte An(x | -0,25x2 +0,5x - 3,25) auf der Parabel p und Punkte Dn(x | -0,5x + 3) auf der Geraden g haben jeweils die gleiche Abszisse x. Sie bilden zusammen mit den Punkten Bn und Cn Eckpunkte von Trapezen AnBnCnDn und es gilt:
, und [AnDn] || [BnCn].
Zeichnen Sie die Trapeze A1B1C1D1 für x = -1 und A2B2C2D2 für x = 4 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

A 1.3

Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Gerade A1B1 Tangente an die Parabel p ist.
[Teilergebnis: A1B1:    y = 0,75x - 3,25]

3 P

A 1.4

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Seitenlänge aller Trapeze AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An wie folgt darstellen lässt:

1 P

A 1.5

Stellen Sie den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An dar.
Berechnen Sie sodann den kleinstmöglichen Flächeninhalt Amin.
[Teilergebnis: A(x) = (0,5x2 - 2x + 18,5)FE ]

3 P

A 1.6

Unter den Trapezen AnBnCnDn gibt es zwei Trapeze A3B3C3D3 und A4B4C4D4, in denen der Winkel A3D3C3 bzw. A4D4C4 jeweils das Maß 90° hat.
Begründen Sie, dass für diese beiden Trapeze gilt: bzw. .
Berechnen Sie sodann die x-Koordinaten der Punkte A3 und A4 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

3 P

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(c) A. Meier, 2004
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