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Abschlussprüfung!
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Abschlussprüfung 2004 Mathematik II Gruppe A Aufgabe 1
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A 1.0 |
Die Parabel p hat eine Gleichung der Form
y = ax2 + 0,5x + c mit
 , aÎIR\{0}
und cÎIR. Die Parabel p verläuft
durch die Punkte P(-1|-4) und Q(5|-7). Die Gerade g hat die Gleichung
y = -0,5x + 3 mit .
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A 1.1
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Zeigen Sie durch Berechnung der Werte a und c, dass die Parabel p
die Gleichung
y = -0,25x2 + 0,5x -3,25 hat.
Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für
xÎ[-3;5] in Schritten von
Dx = 1 und zeichnen Sie die
Parabel p und die Geraden g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
-4  x 9 ;
-9 y 5
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4 P |
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A 1.2 |
Punkte An(x | -0,25x2 +0,5x - 3,25)
auf der Parabel p und Punkte Dn(x | -0,5x + 3) auf der Geraden g
haben jeweils die gleiche Abszisse x. Sie bilden zusammen
mit den Punkten Bn und Cn Eckpunkte
von Trapezen AnBnCnDn
und es gilt:
 , 
und [AnDn] || [BnCn].
Zeichnen Sie
die Trapeze A1B1C1D1
für x = -1 und A2B2C2D2
für x = 4 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
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2 P |
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A 1.3 |
Überprüfen Sie rechnerisch,
ob die Gerade A1B1 Tangente an die Parabel p ist.
[Teilergebnis: A1B1: y = 0,75x - 3,25]
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3 P |
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A 1.4 |
Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Seitenlänge
 aller Trapeze AnBnCnDn
in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An wie folgt darstellen lässt:
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1 P |
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A 1.5 |
Stellen Sie den Flächeninhalt A(x)
der Trapeze AnBnCnDn in
Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte
An dar.
Berechnen Sie sodann den kleinstmöglichen Flächeninhalt Amin.
[Teilergebnis: A(x) = (0,5x2 - 2x + 18,5)FE ]
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3 P |
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A 1.6 |
Unter den Trapezen AnBnCnDn gibt
es zwei Trapeze A3B3C3D3 und
A4B4C4D4, in denen der Winkel
A3D3C3
bzw. A4D4C4 jeweils
das Maß 90° hat.
Begründen Sie, dass für diese
beiden Trapeze gilt: 
bzw.  .
Berechnen Sie sodann die x-Koordinaten der Punkte A3 und A4 auf
zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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3 P |
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(c) A. Meier, 2004 |
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